Contoh soal barisan dan deret serta pembahasannya

Nomor 1
Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris dibelakang lebih 4 kursi di baris depannya. Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukkan adalah...
A. 1.200 kursi
B. 800 kursi
C. 720 kursi
D. 600 kursi
E. 500 kursi

Pembahasan
a = 20
b = 4
n = 15
Ditanya: Sn
Jawab: Sn = 1/2 n [2a + (n - 1) b] = 1/2 . 15 [2.20 + (15 - 1) 4] = 720 kursi
Jawaban: C

Nomor 2
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n² + 2n. Beda dari deret itu adalah...
A. 3
B. 2
C. 1
D. - 2
E. - 3

Pembahasan
Misal n = 1 maka S1 = 1² + 2 . 1 = 3
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
3 = 1/2 (2a + (1 - 1) b
6 = 2a + 0b = 2a
2a = 6
a = 3
Untuk menentukan beda, misalkan n = 2 maka S2 = 2² + 2 . 2 = 8
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
8 = 2/2 (2 . 3 + (2 - 1) b
8 = 6 + b
b = 8 - 6 = 2
Jawaban: b

Nomor 3
Diketahui suku ketiga dan suku kelima deret aritmetika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah...
A. 117
B. 120
C. 137
D. 147
E. 160

Pembahasan
U3 = a + 2b = 18
U5 = a + 4b = 24
_______________ -
- 2b = - 6
b = 3

S7 = (7 / 2) (2a + 6b) = (7 / 2) (24 + 18) = 147
Jawaban: D

Nomor 4
Suku kedua dari suatu barisan aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah...
A. 19
B. 21
C. 23
D. 26
E. 28

Pembahasan
U2 = a + b = 5 ............(1)
U4 + U6 = a + 3b + a + 5b = 28
2a + 8b = 28 atau a + 4b = 14 ..........(2)
Kurangai pers (2) dengan (1), maka:
a + 4b - (a + b) = 3b = 9
b = 3 (subtitusikan ke pers (1), maka:
a + 3 = 5
a = 2
Menentukan U9
U9 = a + 8b = 2 + 8 . (3) = 26
Jawaban: D

Nomor 5
Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, maka jumlah kesepuluh suku pertama deret itu adalah...
A. 164
B. 176
C. 200
D. 216
E. 260

Pembahasan
S4 = 2 (2a + 3b) = 56 maka 2a + 3b = 28 .......(1)
S6 = 3 (2a + 5b) = 108 maka 2a + 5b = 36 ......(2)
Eliminasi persamaan (2) dengan (1).
2a + 3b = 28
2a + 5b = 36
____________ -
- 2b = -8
b = 4 (subtitusikan ke pers (1))
2a + 3 . 4 = 28 maka a = 8
Jumlah sepuluh suku pertama:
S10 = 5 (2a + 9b) = 5 (16 + 36) = 260

Nomor 6
Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n + 4. Disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah...
A. Sn = n² + 9n
B. Sn = n² - 9n
C. Sn = n² + 8n
D. Sn = n² - 6n
E. Sn = n² + 6n

Pembahasan
Un = 6n + 4 maka a = 10 dan b = 6
Disisipkan 2 suku baru maka:
 
Jumlah n suku pertama barisan yang baru adalah:
Sn = 1/2 . n (2a + (n - 1) bbaru) 
Sn = 1/2 . n (20 + (n - 1) 2)
Sn = n² + 9n
Jawaban: A 

Nomor 7
Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp. 55.000,00, bulan ketiga Rp. 60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah...
A. Rp. 1.315.000,00
B. Rp. 1.320.000,00
C. Rp. 2.040.000,00
D. Rp. 2.580.000,00
E. Rp. 2.640.000,00

Pembahasan
Diketahui:
a = 50.000
b = 5.000
n = 24 (2 tahun)
Jumlah tabungan selama 2 tahun
Sn = 1/2 n [2a + (n - 1) b] = 1/2 . 24 [2 . 50.000 + (24 - 1) 5.000] = 2.580.000
Jawaban: D

Nomor 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 36 m kemudian memantul di lantai setinggi 2/3 dari tinggi sebelumnya, begitu seterusnya. Tinggi bola pada pemantulan ke-4 adalah...
A. 16 m
B. 10 (2/3) m
C. 7 (1/9) m
D. 4 (10/27) m
E. 3 (13 / 81) m

Pembahasan
Tinggi bola pada pemantulan ke-4:
U5 = a . r^{n – 1} = a . r⁴ = 36 . (2/3)⁴ = 36 (16 / 81)
U5 = 64 / 9 = 7 (1/9)

Nomor 9
Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96 maka 3072 merupakan suku ke...
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13

Pembahasan
U1 = a = 3
U6 = a . r^{6 - 1} = 96
U6 = 3 . r⁵ = 96
r = 2
Sehingga
3072 = a . r^{n - 1} 
3072 = 3 (2)^{n - 1}
1024 = (2)^{n - 1} 
10 = n - 1
n = 11
Jawaban: C

Nomor 10
Sebongkah gula batu dimasukkan ke dalam air dan diaduk. Dalam 1 menit volume gula berkurang 20 % dari volume sebelumnya (bukan 20 % dari volume awal). Jika volume gula diamati pada setiap menit, maka volume gula menjadi berkurang dari separuh volume awal mulai menit ke...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan
Berkurang 20 % = 0,2, berarti memiliki perbandingan 0,8 = 4/5.
Jika banyaknya gula sebelum diaduk A, dan n menunjukkan menit maka:
1/2 A > A . rⁿ atau 1/2 > (4/5)ⁿ
Periksa:
Untuk n = 2 maka (4/5)ⁿ  = 16 / 25 > 1/2
Untuk n = 3 maka (4/5)ⁿ = 64 / 125 > 1/2
Untuk n = 4 maka (4/5)ⁿ = 256 / 625 < 1/2
Jawaban: C

Nomor 11
Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula adalah...
A. 379 cm
B. 381 cm
C. 383 cm
D. 385 cm
E. 387 cm

Pembahasan
Tali dibagi tujuh maka n = 7
U1 = a = 3 
U7 = a . r^{n - 1} = 192
3 . r⁶ = 192 maka r = 2.
Panjang tali semuala:
 
S7 = 3 (2⁷ - 1) = 3 (128 - 1) = 381 cm
Jawaban: B 

Nomor 12
Suku pertama dari deret geometri adalah a dan jumlah delapan suku pertama sama dengan tujuh belas kali empat suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ...
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1

Pembahasan
U1 = a
S8 = 17 S4
  
r⁴ + 1 = 17 maka r = 2
Jawaban: D

Nomor 13
Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan tali itu membentuk barisan geometri. Panjang tali terpendek 4 cm dan potongan tali terpanjang 64 cm. Panjang tali semula adalah...
A. 74 cm
B. 114 cm
C. 124 cm
D. 128 cm
E. 132 cm

Pembahasan
Diketahui:
n = 5
a = 4 cm
U5 = 64 cm
Ditanya: Sn = ...
 

Nomor 14
Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan hari ke empat adalah 3 5/9 cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah...
A. 1 cm
B. 1 1/3 cm
C. 1 1/2 cm
D. 1 7/9 cm
E. 2 1/4 cm

Pembahasan
Diketahui:
U2 = 2
U4 = 3 5/9

Un = ar^{n - 1}

U2 = ar
2 = ar atau r = 2/a

U4 = ar³

3 5/9 = a (2/a)³

3 5/9 = 8/a²

4/9 = 1/a²

a² = 9/4

a = 3/2 = 1 1/2
Jawaban: C   

Pembahasan soal deret geometri versi video youtube

Contoh soal peluang komplemen suatu kejadian dan pembahasannya

Peluang komplemen suatu kejadian

Suatu percobaan dapat terdiri dari beberapa kejadian. Jika kita menetapkan suatu kejadian tertentu misalnya kita sebut A maka kejadian diluar A merupakan hasil dari percobaan, disebut sebagai kejadian komplemen dari A.

Misal K adalah suatu kejadian pada suatu percobaan, maka peluang komplemen kejadian K adalah 

 

PKK = 1 - PK. 

 

Berikut beberapa contoh soal dan pembahasannya tentang peluang komplemen suatu kejadian.

Nomor 1
Misal peluang Ali menembak berhasil mengenai sasaran sama dengan 0,6. Dengan demikian maka peluang ali menembak gagal mengenai sasaran adalah...
A. 0,3
B. 0,4
C. 0,5
D. 0,7
E. 0,8

Pembahasan
PKK = 1 - PK = 1 - 0,6 = 0,4
Jawaban: B

Nomor 2
Dalam pelemparaan 3 mata uang sekaligus. Jika mata uang terdiri dari sisi gambar dan sisi angka, maka peluang munculnya paling sedikit satu sisi gambar adalah...
A. 1/8
B. 3/8
C. 5/8
D. 6/8
E. 7/8

Pembahasan
Peluang terambil tanpa gambar = 3/8
Peluang terambil paling sedikit satu gambar = 1 - 3/8 = 5/8
Jawaban: C

Nomor 3
Sebuah kelereng diambil secara acak dari sebuah kantong yang terdiri 6 kelereng merah, 7 kelereng putih dan 2 kelereng biru. Peluang yang terambil bukan kelereng merah sama dengan ...
A. 1/5
B. 2/5
C. 3/5
D. 4/5
E. 5/7

Pembahasan
Peluang terambil kelereng merah nK = 6C1 = 6! / 1! (6 - 1)! = 6
nS = 15C1 = 15! / 1! (15 - 1)! = 15
Peluang terambil kelereng merah PK = nK/nS = 6/15
PKK = 1 - 6/15 = 9/15 = 3/5
Jawaban: C

Contoh soal peluang kejadian dan pembahasannya

Peluang kejadian

Besarnya kemungkinan terjadinya sebuah kejadian disebut peluang kejadian. Penentuan nilai peluang kejadian didasarkan pada banyak anggota dan banyak anggota ruang sampelnya. Atau secara matematis penentuan nilai peluang suatu kejadian ditulis:

PK = nK / nS

Catatan:
Untuk menentukan nK atau nS dapat menggunakan rumus permutasi atau Kombinasi:
Permutasi dipakai jika dalam soal ada istilah jabatan, urutan, rangking, predikat, cara duduk, susunan angka.
Kombinasi dipakai jika dalam soal ditanyakan: banyak himpunan bagian, peluang, urutan diabaikan.

Nomor 1
Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu setimbang, K menyatakan kejadian munculnya mata dadu bilangan genap. Peluang kejadian K adalah...
A. 1/6
B. 1/4
C. 1/3
D. 1/2
E. 1/4

Pembahasan
nK = 3
nS = 6
Sehingga PK = nK / nS = 3/6 = 1/2
Jawaban: D

Nomor 2
Misal kita mempunyai 10 kartu yang bernomor 1 sampai 10. Jika satu kartu diambil secara acak, maka peluang terambil adalah kartu bernomor bilangan prima adalah...
A. 4/5
B. 3/5
C. 1/2
D. 3/10
E. 2/5

Pembahasan
nK = 5
nS = 10
maka PK = nK / nS = 5/10 = 1/2
Jawaban: C

Nomor 3
Seorang siswa memegang kartu remi yang berjumlah 52 buah dan meminta temannya untuk mengambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu hati adalah....
A. 1/52
B. 1/13
C. 9 / 52
D. 1/4
E. 1/3

Pembahasan
nK = 13
nS = 52
Jadi PK = nK / nS = 13/52 = 1/4
Jawaban: D

Nomor 4
Pada pelemparan dua dadu setimbang bersamaan. Misal K adalah kejadian muncul jumlah mata dadu = 6. Peluang kejadian K adalah...
A. 8 / 36
B. 7 / 36
C . 6 / 36
D. 5 / 36
E. 4/36

Pembahasan
nK = 5
nS = 36

Jawaban: D

Nomor 5
Pada pelemparan dua dadu setimbang secara bersamaan, misal K adalah kejadian munculnya hasil kali mata dadu = 6. Peluang kejadian K = ...
A. 1/18
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/9
E. 5/36

Pembahasan:
nK = 4
nS = 36
Maka PK = nK / nS = 4 / 36 = 1/9
Jawaban: D


Nomor 6
Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelerang biru. Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus....
A. 3/10
B. 1/3
C. 7/24
D. 1/4
E. 3/7

Pembahasan
Banyak cara mengambil 3 kelereng merah dari 7 kelereng merah = nK = 7C3.


Banyak cara mengambil 3 kelereng merah dari seluruh kelereng 10 buah = nS = 10C3


Peluang terambil 3 kelereng merah nK.

Jawaban: C

Nomor 7
Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dn 4 kelereng putih. Akan diambil 4 kelereng sekaligus. Peluang yang terambil 2 kelereng merah dan 2 kelereng putih adalah...
A. 126/330
B. 116/330
C. 63/330
D. 53/330
E. 27/330

Pembahasan
Banyak cara mengambil 2 kelereng merah dari 7 kelereng = 7C2.
7C2 = 7! / (2! . 5!) = 21.

Banyak cara mengambil 2 kelereng putih dari 4 kelereng = 4C2.
4C2 = 4! / (2! . 2!) = 6.

Banyak cara mengambil 2 kelereng merah dan 2 kelereng putih = nK = 7C2 . 4C2 = 21 . 6 = 126.

Banyak cara mengambil 4 kelereng dari seluruh kelereng (11 kelereng) = nS = 11C4.

Peluang terambil 2 kelereng merah dan kelereng putih PK.
PK = 126/330.
Jawaban: A

Nomor 8
Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua lima adalah...
A. 6 / 36
B. 5 / 36
C. 4 / 36
D. 3 / 36
E. 1 / 36

Jawaban:
Merupakan peluang kejadian saling lepas:
P(3 dan 5) = P(3) x P(5) = 1/6 x 1/6 = 1 / 36

Nomor 9
Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh GAMBAR pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah...
A. 1/12
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/3
E. 1/2

Pembahasan
Merupakan peluang saling bebas, maka:
P(gambar dan ganjil) = P(gambar) x P(ganjil) = 1/2 x 3/6 = 3/12 = 1/4
Catatan
P(gambar) = nK / nS = 1/2
P(ganjil) = nK / nS = 3/6

Nomor 10
Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ...
A. 5 / 36
B. 7 / 36
C. 8 / 36
D. 9 / 36
E. 11 / 36

Pembahasan
Merupakan peluang kejadian saling lepas:
P(9 atau 10) = P(9) + P(10) = 4/36 + 3/36 = 7/36
Keterangan
nS (2 dadu) = 36
nK (9) = (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) = 4
nK (10) = (4,6), (6,4), (5,5) = 3
Jadi:
P(9) = nK / nS = 4/36
P(10) = nK / nS = 3/36

Bacaan lainnya:
Agar kita berkembang
Orang kaya dan orang miskin
Arti penting sebuah cinta

Pembahasan soal peluang kejadian video youtube